卷积公式是什么呢？卷积运算是啥

本文目录

• 卷积公式是什么呢
• 卷积运算是啥
• 卷积的定义
• 卷积的公式是什么
• 如何通俗易懂地解释卷积
• 怎样通俗易懂地解释卷积
• 卷积的用途和卷积器的发展历史是什么
• 成本卷积的介绍
• 卷积积分的理论依据是什么意思 对于实变非线性电路
• 卷积 什么意思

卷积公式是什么呢

卷积公式如下：

卷积积分公式是（f *g）∧（x）=(x)·(x)，卷积是分析数学中一种重要的运算。设f（x）， g（x）是R1上的两个可积函数，作积分，可以证明，关于几乎所有的x∈（－∞，∞） ，上述积分是存在的。

这样，随着x的不同取值 ，这个积分就定义了一个新函数h(x)，称为f与g的卷积，记为h（x）=（f *g）（x）。容易验证，（f *g）（x）=（g *f）（x），并且（f *g）（x）仍为可积函数。

简介：

卷积与傅里叶变换有着密切的关系。以(x) ，(x)表示L1（R）1中f和g的傅里叶变换，那么有如下的关系成立：（f *g）∧（x）=(x)·(x)，即两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积后的傅里叶变换。这个关系，使傅里叶分析中许多问题的处理得到简化。

由卷积得到的函数（f *g）（x），一般要比f，g都光滑。特别当g为具有紧支集的光滑函数，f 为局部可积时，它们的卷积（f *g）（x）也是光滑函数。利用这一性质，对于任意的可积函数 ， 都可以简单地构造出一列逼近于f 的光滑函数列fs（x），这种方法称为函数的光滑化或正则化。

卷积运算是啥

在泛函分析中，卷积(卷积)、旋积或摺积(英语：Convolution)是通过两个函数f和g生成第三个函数的一种数学算子，表徵函数f与经过翻转和平移与g的重叠部分的累积。如果将参加卷积的一个函数看作区间的指示函数，卷积还可以被看作是“滑动平均”的推广。简单介绍卷积是分析数学中一种重要的运算。设:f(x),g(x)是R1上的两个可积函数，作积分：可以证明，关于几乎所有的，上述积分是存在的。这样，随着x的不同取值，这个积分就定义了一个新函数h(x)，称为函数f与g的卷积，记为h(x)＝(f*g)(x)。容易验证，(f*g)(x)＝(g*f)(x)，并且(f*g)(x)仍为可积函数。这就是说，把卷积代替乘法，L1（R1）1空间是一个代数，甚至是巴拿赫代数。卷积与傅里叶变换有着密切的关系。利用一点性质，即两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积后的傅里叶变换，能使傅里叶分析中许多问题的处理得到简化。由卷积得到的函数f*g一般要比f和g都光滑。特别当g为具有紧支集的光滑函数，f为局部可积时，它们的卷积f*g也是光滑函数。利用这一性质，对于任意的可积函数f，都可以简单地构造出一列逼近于f的光滑函数列fs，这种方法称为函数的光滑化或正则化。卷积的概念还可以推广到数列、测度以及广义函数上去。卷积在工程和数学上都有很多应用：统计学中，加权的滑动平均是一种卷积。概率论中，两个统计独立变量X与Y的和的概率密度函数是X与Y的概率密度函数的卷积。声学中，回声可以用源声与一个反映各种反射效应的函数的卷积表示。电子工程与信号处理中，任一个线性系统的输出都可以通过将输入信号与系统函数（系统的冲激响应）做卷积获得。物理学中，任何一个线性系统（符合叠加原理）都存在卷积。卷积是一种线性运算,图像处理中常见的mask运算都是卷积，广泛应用于图像滤波。castlman的书对卷积讲得很详细。高斯变换就是用高斯函数对图像进行卷积。高斯算子可以直接从离散高斯函数得到：for(i=0;i《N;i++){for(j=0;j《N;j++){g;}}再除以sum得到归一化算子N是滤波器的大小，delta自选首先，再提到卷积之前，必须提到卷积出现的背景。卷积是在信号与线性系统的基础上或背景中出现的，脱离这个背景单独谈卷积是没有任何意义的，除了那个所谓褶反公式上的数学意义和积分（或求和，离散情况下）。信号与线性系统，讨论的就是信号经过一个线性系统以后发生的变化（就是输入输出和所经过的所谓系统，这三者之间的数学关系）。所谓线性系统的含义，就是，这个所谓的系统，带来的输出信号与输入信号的数学关系式之间是线性的运算关系。因此，实际上，都是要根据我们需要待处理的信号形式，来设计所谓的系统传递函数，那么这个系统的传递函数和输入信号，在数学上的形式就是所谓的卷积关系。卷积关系最重要的一种情况，就是在信号与线性系统或数字信号处理中的卷积定理。利用该定理，可以将时间域或空间域中的卷积运算等价为频率域的相乘运算，从而利用FFT等快速算法，实现有效的计算，节省运算代价。

卷积的定义

卷积是两个变量在某范围内相乘后求和的结果。如果卷积的变量是序列x(n)和h(n)，则卷积的结果，其中星号*表示卷积。当时序n=0时，序列h(-i)是h(i)的时序i取反的结果；时序取反使得h(i)以纵轴为中心翻转180度，所以这种相乘后求和的计算法称为卷积和，简称卷积。另外，n是使h(-i)位移的量，不同的n对应不同的卷积结果。如果卷积的变量是函数x(t)和h(t)，则卷积的计算变为，其中p是积分变量，积分也是求和，t是使函数h(-p)位移的量，星号*表示卷积。参考《数字信号处理》杨毅明著，p.55、p.188、p.264，机械工业出版社2012年发行。

卷积的公式是什么

卷积的公式是f(t)∗g(t)=∫t0f(u)g(t−u)du(1)。

卷积公式与拉普拉斯变换结果的关系为：F(s)G(s)=∫∞0e−st(f(t)∗g(t))dt(3)。

f(t)与g(t)的拉普拉斯变换结果为：｛F(s)=∫∞0e−stf(t)dtG(s)=∫∞0e−stg(t)dt(2)。

卷积的性质：

perfect spaces卷积混响，各种卷积算子都满足下列性质：

交换律结合律分配律数乘结合律其中a为任意实数（或复数）。

微分定理其中Df表示f的微分，如果在离散域中则是指差分算子，包括前向差分与后向差分两种。

如何通俗易懂地解释卷积

简单定义：设:f(x),g(x)是R1上的两个可积函数，作积分：

可以证明，关于几乎所有的实数x，上述积分是存在的。这样，随着x的不同取值，这个积分就定义了一个新函数h(x)，称为函数f与g的卷积，记为h(x)=(f*g)(x)。

容易验证，(f * g)(x) = (g * f)(x)，并且(f * g)(x)仍为可积函数。这就是说，把卷积代替乘法，L1（R1）空间是一个代数，甚至是巴拿赫代数。

卷积与傅里叶变换有着密切的关系。利用一点性质，即两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积后的傅里叶变换，能使傅里叶分析中许多问题的处理得到简化。

由卷积得到的函数f*g一般要比f和g都光滑。特别当g为具有紧致集的光滑函数，f为局部可积时，它们的卷积f * g也是光滑函数。利用这一性质，对于任意的可积函数f，都可以简单地构造出一列逼近于f的光滑函数列fs，这种方法称为函数的光滑化或正则化。

卷积的概念还可以推广到数列、测度以及广义函数上去。

应用领域

1、 在数字图像处理中，卷积滤波在边缘检测和相关过程的许多重要算法中起着重要作用。

2、 在光学领域，离焦照片是清晰图像与镜头功能的卷积。摄影的术语是背景虚化。

3、 在分析化学中，Savitzky-Golay平滑滤镜用于分析光谱数据。它们可以在使频谱失真最小的情况下提高信噪比

4、 在统计中，加权移动平均值是一个卷积。

5、 在声学中，混响是原始声音与来自声源周围物体的回声的卷积。

6、 在数字信号处理中，使用卷积将真实房间的冲激响应映射到数字音频信号上。

7、 在电子音乐中，卷积是在声音上施加频谱或节奏结构。通常，这种包络或结构取自另一种声音。两个信号的卷积就是一个到另一个的滤波。

8、 在电气工程中，一个函数（输入信号）与第二个函数（脉冲响应）的卷积给出了线性时不变系统（LTI）的输出。在任何给定时刻，输出都是输入函数的所有先前值的累加效果，而最新值通常具有最大的影响力（表示为乘数）。脉冲响应函数根据每个输入值出现后所经过的时间来提供该因数。

9、 在物理学中，凡是存在具有“叠加原理”的线性系统的地方，都会出现卷积运算。例如，在光谱学中，由于多普勒效应本身而引起的线展宽给出了高斯谱线形状，而仅碰撞展宽给出了洛伦兹谱线形状。当两种效果都起作用时，线形是高斯函数和洛伦兹函数的卷积，即Voigt函数。

以上内容参考 百度百科-卷积

怎样通俗易懂地解释卷积

对卷积的意义的理解：

从“积”的过程可以看到，我们得到的叠加值，是个全局的概念。以信号分析为例，卷积的结果是不仅跟当前时刻输入信号的响应值有关，也跟过去所有时刻输入信号的响应都有关系，考虑了对过去的所有输入的效果的累积。在图像处理的中，卷积处理的结果，其实就是把每个像素周边的，甚至是整个图像的像素都考虑进来，对当前像素进行某种加权处理。所以说，“积”是全局概念，或者说是一种“混合”，把两个函数在时间或者空间上进行混合。

那为什么要进行“卷”？直接相乘不好吗？我的理解，进行“卷”（翻转）的目的其实是施加一种约束，它指定了在“积”的时候以什么为参照。在信号分析的场景，它指定了在哪个特定时间点的前后进行“积”，在空间分析的场景，它指定了在哪个位置的周边进行累积处理。

例1：信号分析

如下图所示，输入信号是 f(t) ，是随时间变化的。系统响应函数是 g(t) ，图中的响应函数是随时间指数下降的，它的物理意义是说：如果在 t=0 的时刻有一个输入，那么随着时间的流逝，这个输入将不断衰减。换言之，到了 t=T时刻，原来在 t=0 时刻的输入f(0)的值将衰减为f(0)g(T)。

卷积的用途和卷积器的发展历史是什么

卷积在实践中产生、应用、发展，但基本特性不变 卷积是分析数学中一种重要的运算。设: f(t),g(t)是R1上的两个可积函数，以其积为核作积分：积分区间取决于f 与g 的定义域。可以证明：关于几乎所有的 ，这种积分都是存在的。这样，随着 t 的不同取值的这个积分就定义了一个新函数h(t)，称为函数f 与g 的卷积，记为h(t)＝(f*g)(t)。容易验证，(f * g)(t) ＝ (g * f)(t)，并且(f * g)(t) 仍为可积函数。这就是说，卷积相当于L1（R1）空间代数，甚至是巴拿赫代数，的一个乘法。卷积的德文Faltung和英文convolution，都表明：它有卷、摺，的意思。 卷积，实际上，是在各种实际问题的实践中，例如：统计学中加权的滑动平均； 物理学中任何一个线性系统（符合叠加原理）；声学中回声由源声与各种反射效应表达； 电子工程与信号处理中线性系统的输出由输入信号与系统的冲激响应表达； 概率论中两个统计独立的概率密度，等等 的需要而产生，并在相应的实践中应用的。 因有，卷积定理：函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘积。任何卷积都可表达为：含有傅里叶函数（函数傅里叶变换）为因子。这一定理对拉普拉斯变换、双边拉普拉斯变换、Z变换、Mellin变换和Hartley变换（参见Mellin inversion theorem）等各种傅里叶变换的变体同样成立。在调和分析中还可以推广到在局部紧致的阿贝尔群上定义的傅里叶变换。这些都表明：傅里叶函数与卷积的重要关系与作用。人们熟知：傅里叶函数是由正弦函数与余弦函数组成的级数，而正弦函数与余弦函数都是周期函数，傅里叶函数也有相应的周期性。因而，卷积就必有周期循环或周期衰减循环的特性。这也就更具体的从时空都表明：卷积必有卷的特性！卷积不会不卷。特别是，当h(t)变成h(t-τ)，而τ为相应的常量时，τ就相当于它的周期！ 利用卷积定理可以简化卷积的运算量。对于长度为n的序列，按照卷积的定义进行计算，需要做2n-1组对位乘法，其计算复杂度为O(n^2)；而利用傅里叶变换将序列变换到频域上后，只需要一组对位乘法，利用傅里叶变换的快速算法之后，总的计算复杂度为O(nlogn)。因而，这一结果就又使卷积应用到快速乘法的计算。 卷积中，两个函数的乘积，按乘积的一般规则，可以分别是任意相同或不同性质的量，但是，在实际的应用中，就必须由卷积及其两个函数的性质分别具体地确定，而不能随意。 在实践中，卷积中两个函数乘积的积分，还被进而扩展为数列卷积的两个数列乘积的求和，a*b=《( a*b)n》={（i=负无穷大到正无穷大求和}a(i,n)b(i)）(n=0,+-1,+-2,…)α={αn},b={bn}(n=0,±1,±2,…)为两个数列甚至在概率论中扩展为随机变量的点集，例如，已知独立随机变量ξ和η的概率分布为Pξ（A）和Pη(A)，随机变量ξ+η的分布 由下式给出 ：，式中A-y表示点集{x|x+y∈A};A为直线上任意的波莱尔集。 这就使得其中的连续函数发展为离散的数列，甚至随机变量的点集。 但是，卷积定理仍能成立，傅里叶函数与卷积的重要关系与作用仍然存在，卷积就仍然必有周期循环或周期衰减循环的特性。 卷积，作为运算，还具有十分重要的所谓平移不变性。例如以τα表示平移算子,即(ταƒ)(x)=ƒ(x-α),那么就有利用这性质，可以刻画出l(R)到 有界的平移不变算子的特征，即当作用在施瓦兹函数类(记为S(R))时,这种算子一定是某个缓增广义函数u与函数φ∈S的卷积u*φ 还可以推广到矢量场函数的卷积，按照翻转、平移、积分的定义，类似地定义多元函数上的积分：(f*g)(t1,t2,…,tn)=(n重积分)f(τ1, τ2,…, τn)g(t1-τ1,t2-τ2,…,tn-τn)dτ1dτ2…dτn) 而且，两个函数还可以是不同τ的多元，例如：其一为标量的1元函数；另一为3维矢量场的3元函数，的3个卷积，组成3维矢量场的卷积。其一为标量的1元函数；另一为4维矢量场的4元函数，的4个卷积，组成4维矢量场的卷积。 还可以有，例如：两个n维矢量场点乘的卷积应是其各分量卷积的平方和。两个n维矢量场点乘的卷积应是其各分量卷积的平方和，两个n维矢量场叉乘的卷积应是其各分量两两交叉乘积卷积之差的矢量和，等等。 但是，卷积的这些发展、变化，作为卷积如上的基本特性也不会改变。

成本卷积的介绍

什么是成本卷积成本卷积（Cost Convolution）是企业资源计划信息系统(ERP-Enterprise Resource Planning)中常用的一种成本核算的计算方法。卷积（Convolution）是一种线性运算，数学中关于两个函数的一种无穷积分运算；在统计学中，加权的滑动平均是一种卷积

卷积积分的理论依据是什么意思 对于实变非线性电路

1、卷积：分析数学中一种重要的运算。设f（x）， g（x）是R1上的两个可积函数，作积分。可以证明，关于几乎所有的x∈（－∞，∞） ，上述积分是存在的。这样，随着x的不同取值 ，这个积分就定义了一个新函数h(x)，称为f与g的卷积，记为h（x）=（f *g）（x）。容易验证，（f *g）（x）=（g *f）（x），并且（f *g）（x）仍为可积函数。这就是说，把卷积代替乘法，L1（R1）1空间是一个代数，甚至是巴拿赫代数。卷积的概念还可以推广到数列 、测度以及广义函数上去。2、物理意义：在激励条件下，线性电路在t时刻的零状态响应=从激励函数开始作用的时刻（ξ=0），到t时刻（ ξ=t）的区间内，无穷多个强度不同的冲激响应的总和。可见，冲激响应在卷积中占据核心地位。3、另外，卷积积分对傅里叶变换也有着密切的关系。

卷积 什么意思

卷积convolution 分析数学中一种重要的运算。设f（x）， g（x）是R1上的两个可积函数，作积分： 可以证明，关于几乎所有的x∈（－∞，∞） ，上述积分是存在的。这样，随着x的不同取值 ，这个积分就定义了一个新函数h(x)，称为f与g的卷积，记为h（x）＝（f *g）（x）。容易验证，（f *g）（x）＝（g *f）（x），并且（f *g）（x）仍为可积函数。这就是说，把卷积代替乘法，L1（R1）1空间是一个代数，甚至是巴拿赫代数。 卷积与傅里叶变换有着密切的关系。以(x) ，(x)表示L1（R）1中f和g的傅里叶变换，那么有如下的关系成立：（f *g）∧（x）＝(x)·(x)，即两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积后的傅里叶变换。这个关系，使傅里叶分析中许多问题的处理得到简化。 由卷积得到的函数（f *g）（x），一般要比f，g都光滑。特别当g为具有紧支集的光滑函数，f 为局部可积时，它们的卷积（f *g）（x）也是光滑函数。利用这一性质，对于任意的可积函数 ， 都可以简单地构造出一列逼近于f 的光滑函数列fs（x），这种方法称为函数的光滑化或正则化。 卷积的概念还可以推广到数列 、测度以及广义函数上去。