最小二乘法求回归方程（最小二乘法求线性回归方程推导）

本文目录

• 最小二乘法求线性回归方程推导
• 求回归方程的最小二乘法，是怎么计算的
• 什么是最小二乘法原理求回归方程
• 什么是最小二乘法回归分析
• 回归方程怎么求 求解步骤是什么
• x=1234，y=16，67，95，78，请用最小二乘法求出回归方程
• 最小二乘法计算公式是
• spss 怎么用最小二乘估计求回归方程
• 在回归分析中可以采用最小二乘法对回归方程的两个参数进行估计其基本思想是什

最小二乘法求线性回归方程推导

1、怎样的拟合直线最好？——与所有点都近，即与所有点的距离之和最小。最小二乘法可以帮助我们在进行线性拟合时，如何选择“最好”的直线。要注意的是，利用实验数据进行拟合时，所用数据的多少直接影响拟合的结果，从理论上说，数据越多，效果越好，即所估计的直线方程越能更好地反映变量之间的关系。一般地，我们可以先作出样本点的散点图，确认线性相关性，然后再根据回归直线系数的计算公式进行计算。2、刻画样本点 与直线y=a+bx之间的“距离”——思考：①这个“距离”与点到直线的距离有什么关系？很显然，这个式值越小，则样本点与直线间的距离越小。②为什么不直接利用点到直线的距离来刻画样本点与直线之间的距离关系？3、最小二乘法如果有n个点：（x 1 ，y 1 ），（x 2 ，y 2 ），（x 3 ，y 3 ），……，（x n ，y n ），我们用下面的表达式来刻画这些点与直线y=a+bx的接近程度：。使得上式达到最小值的直线y=a+bx就是我们所要求解的直线，这种方法称为 最小二乘法。4、线性回归方程，其中这个直线方程称为线性回归方程，a，b是线性回归方程的系数（回归系数）。例1、推导2个样本点的线性回归方程设有两个点A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），用最小二乘法推导其线性回归方程并进行分析。解：由最小二乘法，设 ，则样本点到该直线的“距离之和”为从而可知：当时，b有最小值。将代入“距离和”计算式中，视其为关于b的二次函数，再用配方法，可知：此时直线方程为：设AB中点为M ，则上述线性回归方程为可以看出，由两个样本点推导的线性回归方程即为过这两点的直线方程。这和我们的认识是一致的：对两个样本点，最好的拟合直线就是过这两点的直线。用最小二乘法对有两个样本点的线性回归直线方程进行了直接推导，主要是分别对关于a和b的二次函数进行研究，由配方法求其最值及所需条件。实际上，由线性回归系数计算公式：可得到线性回归方程为设AB中点为M ，则上述线性回归方程为。例2、求回归直线方程在硝酸钠的溶解试验中，测得在不同温度 下，溶解于100份水中的硝酸钠份数 的数据如下

求回归方程的最小二乘法，是怎么计算的

计算方法：

y = Ax + B:a = sigma；b = y均值 - a*x均值。

知识拓展

最小二乘法求回归直线方程的推导过程

这里的是为了区分Y的实际值y（这里的实际值就是统计数据的真实值，我们称之为观察值），当x取值(i=1，2，3……n)时，Y的观察值为，近似值为（或者说对应的纵坐标是）。其中式叫做Y对x的回归直线方程，b叫做回归系数。要想确定回归直线方程，我们只需确定a与回归系数b即可。设x，Y的一组观察值为：i = 1，2，3……n其回归直线方程为：当x取值(i=1，2，3……n)时，Y的观察值为，差刻画了实际观察值与回归直线上相应点纵坐标之间的偏离程度，见下图：

实际上我们希望这n个离差构成的总离差越小越好，只有如此才能使直线最贴近已知点。换句话说，我们求回归直线方程的过程其实就是求离差最小值的过程。一个很自然的想法是把各个离差加起来作为总离差。可是，由于离差有正有负，直接相加会互相抵消，如此就无法反映这些数据的贴近程度，即这个总离差不能用n个离差之和来表示，见下图：一般做法是我们用离差的平方和，即：

作为总离差 ，并使之达到最小。这样回归直线就是所有直线中Q取最小值的那一条。由于平方又叫二乘方，所以这种使“离差平方和为最小”的方法，叫做最小二乘法。用最小二乘法求回归直线方程中的a、b的公式如下：其中，、为和的均值，a、b的上方加“︿”表示是由观察值按最小二乘法求得的估计值，a、b求出后，回归直线方程也就建立起来了。当然，我们肯定不能满足于直接得到公式，我们只有理解这个公式怎么来的才能记住它，用好它，因此给出上面两个公式的推导过程更加重要。在给出上述公式的推导过程之前，我们先给出推导过程中用到的两个关键变形公式的推导过程。首先是第一个公式：

接着是第二个公式：

基本变形公式准备完毕，我们可以开始最小二乘法求回归直线方程公式的推导了：

至此，公式变形部分结束，从最终式子我们可以看到后两项

与a、b无关，属于常数项，我们只需

即可得到最小的Q值，因此：

什么是最小二乘法原理求回归方程

最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。

利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。

在回归过程中，回归的关联式不可能全部通过每个回归数据点（x1,y1. x2,y2...xm,ym），为了判断关联式的好坏，可借助相关系数“R”，统计量“F”，剩余标准偏差“S”进行判断；“R”越趋近于 1 越好；“F”的绝对值越大越好；“S”越趋近于 0 越好。

扩展资料：

对于平面中的这n个点，可以使用无数条曲线来拟合。要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值。综合起来看，这条直线处于样本数据的中心位置最合理。 选择最佳拟合曲线的标准可以确定为：使总的拟合误差（即总残差）达到最小。

最小二乘法的原则是以“残差平方和最小”确定直线位置。用最小二乘法除了计算比较方便外，得到的估计量还具有优良特性。这种方法对异常值非常敏感。

用离差的平方和，即作为总离差，并使之达到最小，这样回归直线就是所有直线中Q取最小值的那一条，这种使“离差平方和最小”的方法，叫做最小二乘法：

由于绝对值使得计算不变，在实际应用中人们更喜欢用：Q=（y1-bx1-a）²+（y2-bx2-a）²+······+（yn-bxn-a）²，这样，问题就归结于：当a，b取什么值时Q最小，即到点直线y=bx+a的“整体距离”最小。

参考资料来源：百度百科——最小二乘法

什么是最小二乘法回归分析

最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。

对于一元线性回归模型, 假设从总体中获取了n组观察值（X1，Y1），（X2，Y2）， …，（Xn，Yn）。对于平面中的这n个点，可以使用无数条曲线来拟合。要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值。综合起来看，这条直线处于样本数据的中心位置最合理。 选择最佳拟合曲线的标准可以确定为：使总的拟合误差（即总残差）达到最小。有以下三个标准可以选择：

（1）用“残差和最小”确定直线位置是一个途径。但很快发现计算“残差和”存在相互抵消的问题。

（2）用“残差绝对值和最小”确定直线位置也是一个途径。但绝对值的计算比较麻烦。

（3）最小二乘法的原则是以“残差平方和最小”确定直线位置。用最小二乘法除了计算比较方便外，得到的估计量还具有优良特性。这种方法对异常值非常敏感。

回归方程怎么求 求解步骤是什么

先求 x、y 的平均数 x_=(3+4+5+6)/4=9/2，y_=(2.5+3+4+4.5)/4=7/2，

然后求对应的 x、y 的乘积之和 ：3*2.5+4*3+5*4+6*4.5=66.5 ，x_*y_=63/4 ，

接着计算 x 的平方之和：9+16+25+36=86，x_^2=81/4 ，

现在可以计算 b 了：b=(66.5-4*63/4) / (86-4*81/4)=0.7 ，

而 a=y_-bx_=7/2-0.7*9/2=0.35 ，

所以回归直线方程为 y=bx+a=0.7x+0.35 。

扩展资料：

回归方程运算案例：

若在一组具有相关关系的变量的数据（x与Y）间，通过散点图我们可观察出所有数据点都分布在一条直线附近，这样的直线可以画出许多条，而我们希望其中的一条最好地反映x与Y之间的关系，即我们要找出一条直线，使这条直线“最贴近”已知的数据点。

因为模型中有残差，并且残差无法消除，所以就不能用二点确定一条直线的方法来得到方程，要保证几乎所有的实测值聚集在一条回归直线上，就需要它们的纵向距离的平方和到那个最好的拟合直线距离最小。 

记此直线方程为（如右所示，记为①式）这里在y的上方加记号“^”，是为了区分Y的实际值y，表示当x取值xi=1，2，……，6）时，Y相应的观察值为yi，而直线上对应于xi的纵坐标是①式叫做Y对x的

回归直线方程，相应的直线叫做回归直线，b叫做回归系数。要确定回归直线方程①，只要确定a与回归系数b。

回归方程的有关量：e.随机变量 ^b.斜率 ^a.截距 —x.x的数学期望 —y.y的数学期望 R.回归方程的精确度。

回归直线的求法

最小二乘法：

总离差不能用n个离差之和

来表示，通常是用离差的平方和，即作为总离差，并使之达到最小，这样回归直线就是所有直线中Q取最小值的那一条，这种使“离差平方和最小”的方法，叫做最小二乘法：

参考资料：百度百科——回归方程

x=1234，y=16，67，95，78，请用最小二乘法求出回归方程

x=1，2，3，4，y=16，67，95，78，请用最小二乘法求出回归方程[假定95、78没有给反】x￣=(1+2+3+4)/4=2.5y￣=(16+67+95+78)/4=64△x=-1.5，-0.5，0.5，1.5△y=-48，3，31，14Σ△x△y=72-1.5+15.5+21=107Σ（△x）^2=2.25+0.25+0.25+2.25=5b=107/5、a=y￣-b*x￣=64-(107/5)*2.5=10.5∴回归方程为 y^=(107/5)x^+10.5

最小二乘法计算公式是

最小二乘法公式为a＝y（平均）－b＊x（平均）。

在研究两个变量（x，y）之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据（x1，y1），（x2，y2）...（xm，ym）；将这些数据描绘在x－y直角坐标系中，若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如a＝y（平均）－b＊x（平均）。其中：a、b是任意实数。

扩展资料：

最小二乘法通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。还可用于曲线拟合，其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。

根据样本数据，采用最小二乘估计式可以得到简单线性回归模型参数的估计量。但是估计量参数与总体真实参数的接近程度如何，是否存在更好的其它估计式，这就涉及到最小二乘估计式或估计量的最小方差（或最佳）性、线性及无偏性。

spss 怎么用最小二乘估计求回归方程

一、在spss中准备好数据，然后在菜单栏上执行：analyse--regression--2stages least squares。

二、打开二阶对话框，如图所示，将自变量和因变量放入各自的对话框，这里和简单线性回归十一样的。

三、接着，和简单线性回归不同的就是我们要放入工具变量，也就是对上面的受教育年限进行预测的变量，这个变量包括：父母的受教育年限、年龄、种族。在解释变量中有、在工具框中没有的变量就是我们的工具变量要预测的变量。

四、点击ok按钮，开始处理数据并输出结果。

五、第一个结果是对模型的描述，它告诉你各个变量都属于什么变量。

六、第二个结果就是方差分析，sig小于0.05说明回归效应显著，回归方程成立。

扩展资料：

如何使用spss 进行卡方检验

一、 输入数据 

首先录入数据组，运行SPSS 13.0的软件后，点击Variable View标签，切换到变量输入窗口。

二、 建立加权变量 

选择菜单栏的“数据”—“观测量加权”，英文版为“data”---“Weight cases…”然后会弹出观测量加权”对话框。 

三、 交叉表设置 

选择菜单栏的“分析”—“描述统计”—“交叉表”，将会弹出交叉表对话框。

四、 结果分析

里面标示出了实际频数，理论频数以及百分比，表格就是卡方检验的结果了。

参考资料：如何使用spss 进行卡方检验

在回归分析中可以采用最小二乘法对回归方程的两个参数进行估计其基本思想是什

摘要对拟合公式的最基本的要求是由对应系数确定的拟合曲线与各节点的偏差的平方和最小，这就是最小二乘法拟合的基本思想。

咨询记录 · 回答于2021-12-01

在回归分析中可以采用最小二乘法对回归方程的两个参数进行估计其基本思想是什

对拟合公式的最基本的要求是由对应系数确定的拟合曲线与各节点的偏差的平方和最小，这就是最小二乘法拟合的基本思想。

最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。

最小二乘法还可用于曲线拟合，其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达