矩阵乘法的几何意义（矩阵相等的几何意义为什么）

本文目录

• 矩阵相等的几何意义为什么
• 一个行矩阵乘以一个列矩阵（一样大小）有什么物理或者几何意义
• 谁能说说矩阵的乘法几何意义，越通俗越好
• 一个矩阵乘以一个向量有什么几何意义，麻烦说详细一点！谢谢
• 两个矩阵相乘有什么几何意义,麻烦说详细一点!谢谢
• 求教线性代数高手，矩阵乘法为什么那么奇怪以及所谓的线性映射是什么几何意义我几何很好，不懂代数！
• 矩阵乘法的几何意义
• 线性代数中的r(A)=r是什么意思

矩阵相等的几何意义为什么

把n维列向量看成n维空间的一个坐标，m维列向量看成m维空间的一个坐标，那么一个m*n矩阵乘法就是一个从n维空间到m维空间的线性映射，即可以理解成他就是一个线性函数。举一个例子，相机小孔成像模型，相机出来的图象中的一个点表示成在二维平面中二维坐标（i,j），而相机每个点有对应实际三维空间中的三维坐标（x,y,z）。在不考虑镜头畸变的情况下，可以求得一个2*3的矩阵A，满足（i,j）T=A*(x,y,z)T，这个A矩阵，就是三维空间到二维平面的一个线性映射，可以理解成投影变换，也可以理解成三体中的降维打击 。当然所有空间的线性变换都可以用矩阵表示，比如旋转变换，对称变换等。

一个行矩阵乘以一个列矩阵（一样大小）有什么物理或者几何意义

如果将行矩阵看成行向量(a1,a2,...,an)列矩阵看成列向量(b1,b2,...,bn)T,其中T表示转置行向量左乘列向量：(a1,a2,...,an)(b1,b2,...,bn)T=a1*b1+a2*b2+...+an*bn其实就是这两个向量的内积（或称数量积）,其物理意义就是力对物体所做的功,几何意义就是一个向量在另一向量方向上的投影.不废话了,感兴趣可以参考以下材料（从百度搜了几个帖子,自己看吧）：物理百度吧中关于内积的一系列讨论：百度文库中关于内积的PPT：内积的一个提问：

谁能说说矩阵的乘法几何意义，越通俗越好

作者：毛毛吉吉链接：

There is my understanding. The basic idea of the matrix with rows and columns is likely a X-Y axis which means a 2-dimensional space. So that we consider row and column into two parts generously. If you are more interested in the row relation, (such as X-axis you’re interested) you will get your point of view of the problem from a X-axis’ perspective. In another word, you can imagine you are just standing on some position at X-axis from original point to positive X-axis (NOTICE: X-axis is a 1-dimensional space), and you’re more willing to tackle your problems using the solutions in 1-dimension. Don’t worry! Let me describe it more vividly.

The problem is lying in a 2-dimensional space, and you want to solve it using an approach of 1-dimensional perspective. Why should we do it (Question 1)? How can we do it (Question 2)? The answer to the Question 1 is that it is more easy than a 2-dimensional problem to solve from our experiences and conclusions in the most time. The answer to the Question 2 is more complex. Matrix is a smart way to compress a 2-dimensional question into a 1-dimensional question. The approach is, of course, differentiating a row and a column. You can continue imagining you’re standing at the X-axis with a 1-dimensional point of view being ready to tackle a problem you faced. You are succeed ignoring the Y-axis, no matter what happened on it, because you have no ability to meet anything in the second dimension (Y-axis). That’s a simple way for a problem solver.

Hold on Question 2 :)

Imagine a compressor compress a square biscuit at one direction, referencing Figure 1.

《img src=“https://pic1.zhimg.com/f65e88002b2b7ebb897c8b4c9f219390_b.png“ data-rawwidth=“1154“ data-rawheight=“502“ class=“origin_image zh-lightbox-thumb“ width=“1154“ data-original=“https://pic1.zhimg.com/f65e88002b2b7ebb897c8b4c9f219390_r.png“》

You’re more interested in X-axis, and you don’t care what append on Y-axis. All right, actually, Some solvers think they firstly consider each column contains homogeneous elements and the column could be compressed. Later, we use Compressing and Decreasing Dimension Method (I named it CDDM). Reference Figure 2.

《img src=“https://pic1.zhimg.com/6523ee141cafa525fce46e4f4b9149c4_b.png“ data-rawwidth=“485“ data-rawheight=“193“ class=“origin_image zh-lightbox-thumb“ width=“485“ data-original=“https://pic1.zhimg.com/6523ee141cafa525fce46e4f4b9149c4_r.png“》

For this reason, you are more likely walking on the X-axis form point O(0,0) to point A(0,a) where ‘a’ is a real number on X-axis, and considering a 1-dimensional problem instead. You will see how we replaced and simplified the question, referencing Figure 3.

《img src=“https://pic4.zhimg.com/37f2b10a0187ed4ccf46fc2ba4cadc1f_b.png“ data-rawwidth=“485“ data-rawheight=“186“ class=“origin_image zh-lightbox-thumb“ width=“485“ data-original=“https://pic4.zhimg.com/37f2b10a0187ed4ccf46fc2ba4cadc1f_r.png“》

Do you got the Compressing and Decreasing Dimension Method (CDDM)? Let me draw a simple conclusion. The matrix is a 2-dimensional problem. We use CDDM to simplify it, that is, we chose row or column to calculate and proof a theorem or problem. This approach is likely decreasing the dimension, I think. And the rule is we believe each row or column has the coordinating and corresponding properties for every elements contained by a row or column.

Yes, matrix is a container! If you’re more interested in a row relation, and imagining walking on a X-axis, you will believe there is no column so that you compress the columns into single elements. And then, you walk from original point O(0,0) to point A(0,a), where ‘a’ is a real number on X-axis. It’s more easy to find out the row relation in the matrix, isn’t it?

Now, I suggest you think again about the form of the matrix below in Figure 4. Why do we write it like that?

《img src=“https://pic1.zhimg.com/a008ddc59be70fe6e6af2b4dbe167cd0_b.png“ data-rawwidth=“1032“ data-rawheight=“426“ class=“origin_image zh-lightbox-thumb“ width=“1032“ data-original=“https://pic1.zhimg.com/a008ddc59be70fe6e6af2b4dbe167cd0_r.png“》

I hope I could explain the Question 2 more clearly. But, you know, English, as a second language is not too fluent for me. What I want to highlight at last is that row and column is the same, which is the major relationship between rows and columns, I think. The only differences are the angle we tackle a problem and the way we understand a knowledge. CDDM is a useful attitude in our real life.

一个矩阵乘以一个向量有什么几何意义，麻烦说详细一点！谢谢

几何意义就是线性变换，矩阵乘向量就是把这个向量旋转，而且向量的大小也会改变，通常情况没有人关注矩阵与一个向量的乘法，而是关注整个向量空间，乘了这个矩阵之后，会如何变化，这其实就是向量空间的线性变换，特点是保持加法、保持数乘。

矩阵运算在科学计算中非常重要 ，而矩阵的基本运算包括矩阵的加法，减法，数乘，转置，共轭和共轭转置。

矩阵分解是将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积 ，矩阵的分解法一般有三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解等。

扩展资料：

向量可以用有向线段来表示。有向线段的长度表示向量的大小，向量的大小，也就是向量的长度。长度为0的向量叫做零向量，记作长度等于1个单位的向量，叫做单位向量。箭头所指的方向表示向量的方向。

在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为一组基底。a为平面直角坐标系内的任意向量，以坐标原点O为起点P为终点作向量a。

由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数（x,y），使得a=xi+yj，因此把实数对(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)。这就是向量a的坐标表示。其中(x,y)就是点p的坐标。向量a称为点P的位置向量。

参考资料来源：百度百科——向量

参考资料来源：百度百科——矩阵

两个矩阵相乘有什么几何意义,麻烦说详细一点!谢谢

思索很久，终于明白了。矩阵是一个线性变换，就是对一个向量进行拉伸和变换，是通过矩阵的变换基完成的。如果以矩阵的行向量作为变换基。例如，x轴变换基负责对向量的x维度数据(x,0)进行变换，y轴变换基负责对y维度向量（0，y）进行变换，那么假如变换基是单位向量,那么长度不变，如果不是，那肯定变了。理解难点：其实任何一个向量(x,y)都可以表示为(x,0)+(0,y)。所以所谓的线性变换，本质上就是利用矩阵的变换基对各个向量分量进行变换

求教线性代数高手，矩阵乘法为什么那么奇怪以及所谓的线性映射是什么几何意义我几何很好，不懂代数！

因为矩阵的乘法就是这么定义的呀，A与B的乘积C中的任一元素cij等于A的第i行与B的第j列的对应元素的乘积之和，这就要求A的每一行所含的元素个数与B的每一列所含的元素个数相等，即A的列数等于B的行数，否则根本没法乘。由于在取定一组基后，n阶方阵与线性变换之间可以建立一一对应的关系，所以可以用线性变换的乘积（即复合）来理解矩阵的乘积，（我只是说大致可以这么做，矩阵乘法为什么这么定义恐怕要到历史中去找寻缘由，对于那些不是方阵的矩阵之间的乘法，我也无能为力）由于线性变换的乘积不能随便交换次序，所以矩阵的也不行。由于线性变换有逆，所以矩阵也有逆。（就姑且这么理解吧）线性变换就是保持向量之间线性关系的映射，式子Akα=kAα表示，kα的像就是α的像与k的乘积，这与kα就是α与k的乘积形成对应关系，而式子A(α+β)=Aα+Aβ表示，α+β的像就是α的像与β的像的和，这也说明，α+β就是α与β的和的这种线性关系得到了保持。如下所示：η =k • ζ ψ = δ + ε↑ A ↑A ↑A ↑A ↑Aγ =k • α λ = α + β我还是建议你用线性变换来理解矩阵的性质。用几何来解释矩阵的性质恐怕有困难，高等数学的特征之一就是抽象性，所以为了理解那些古怪的定义和性质，你只能去学习那些更抽象的东西，然后你才能理解个中缘由，然后为了理解新的古怪定义，只能去学加倍高深的知识，所以，唉，你就会被卷入到一条学术的不归路上。人生的悲剧就这样形成了。不过单就理解线性代数来说，我建议你看一看清华大学出版社的《线性空间引论》（陈恭亮,叶明训,郑延履著）。不同于国内的大多数线性代数教材，它是以线性空间和线性代数为主线编的，感觉看完以后对线性代数的许多困惑得到了解释，不过这本书一开始理解起来当然还是很费劲的，但是总比学完以矩阵为主线编的令人一头雾水的教材后留下的感觉好多了。

矩阵乘法的几何意义

空间中可以用向量组(如顶点的集合)表示一个几何形状，也可以用方阵来表示一个变换，比如把一个几何形状扩大，缩小，旋转，平移等等，C=AB,就是说C是向量组A经过了B变换得到的结果，B变换的逆变换是B的逆矩阵，A=CB^(-1)就把A变回来了。如果B不可逆，就说这个变换是不可逆的，如投影变换。如二维平面的旋转公式矩阵是T=CAD/CAM的课程会有比较详细的介绍。

线性代数中的r(A)=r是什么意思

线性代数中的r(A)=r表示，矩阵A的阶数为r，r(A)等于r表示矩阵A满秩。

设A是n阶矩阵, 若r（A） = n, 则称A为满秩矩阵。但满秩不局限于n阶矩阵。

若矩阵秩等于行数，称为行满秩；若矩阵秩等于列数，称为列满秩。既是行满秩又是列满秩则为n阶矩阵即n阶方阵。

行满秩矩阵就是行向量线性无关，列满秩矩阵就是列向量线性无关；所以如果是方阵,行满秩矩阵与列满秩矩阵是等价的。

扩展资料：

在矩阵的乘法中，有一种矩阵起着特殊的作用，如同数的乘法中的1，我们称这种矩阵为单位矩阵，简称单位阵。

它是个方阵，除左上角到右下角的对角线上的元素均为1以外全都为0。可用将系数矩阵转化成单位矩阵的方法解线性方程组。